Calculus 1 การ Simplify และ Limit/Function

สวัสดีครับ ในบทความนี้จะเป็นการแนะนำบทเรียนเบื้องต้น ก่อนจะศึกษาวิชา Calculus 1 สิ่งที่ต้องรู้มีอะไรบ้าง บอกก่อนเลยว่าผมไม่ได้เรียนสายวิทย์-คณิต และบทเรียนที่ผมกำลังจะแนะนำ ผมอาจให้ได้ไม่แน่นมากเท่าไหร่

Simplifying การลดความซับซ้อน

การ Simplifying การลดความซับซ้อน คือการทำให้ Equation นั้นมีความซับซ้อนน้อยลง ตัวอย่างโจทย์ เช่น

x² + 16x + 64 จะสามารถ Simplify ได้เป็น (x + 8)(x + 8) สังเกตว่าสองตัวนี้จะเป็นตัวที่คุณกันได้ term ข้างหลัง และบวกกันได้ term ตรงกลาง

เมื่อเรานำ (x + 8)(x + 8) มาคูณกระจาย จะได้เป็น x² + 8x + 8x + 64 เราเอา 8x + 8x ก็จะได้ x² + 16x + 64 ก็คือ จะได้กลับมาเป็นโจทย์ก็ที่เราจะ Simplify นั่นเอง เป็นวิธีในการเช็คความถูกต้องเมื่อเราหาสองตัวได้แล้ว

==> ทีนี้ลองเป็น expression ที่ term ด้านขวามี - กันบ้าง เช่น <==

x² + 2x - 80 จะสามารถ Simplify ได้เป็น (x - 8)(x + 10)

หากเราเอา (x - 8)(x + 10) มาคูณกลับเข้าไป โดยการคูณกระจาย จะได้

x² + 10x - 8x - 80 และนำ 10x - 8x จะได้กลับมาเป็น x² + 2x - 80

==> ทีนี้ลองเป็น expression ที่ term ด้านซ้ายมี - กันบ้าง เช่น <===

x² - 10x + 24 จะสามารถ Simplify ได้เป็น (x - 6)(x - 4) สังเกตว่าข้างในวงเล็บทั้งสองจะเป็นเครื่องหมายลบทั้งคู่

Limits / Functions

ตัวอย่าง lim_{x -> 2} (x + 10) เมื่อเห็นโจทย์แบบนี้ สิ่งที่ต้องทำคือนำค่า x ใส่เข้าไปในโจทย์เลย ดังนี้

= lim_{x -> 2} (x + 10)

= 2 + 10

= 12

ส่วน function ก็คล้ายกัน

f(3) = x²

= 3²

= 9

สำหรับโจทย์ที่เป็นเศษส่วน และเมื่อแทน x เข้าไปแล้ว ส่วนเป็น 0 เช่น

= lim_{x -> -3} x^2 - 4x - 21x + 3

= 9 + 12 - 21(-3) + 3 = 0

เมื่อเป็นแบบนี้เราจะใช้วิธีการ Simplify ตัวเศษ นั้นคือ x^2 - 4x - 21 เมื่อ Simplify แล้วจะได้เป็น (x - 7)(x + 3) เมื่อเอากลับไปแทนใส่สูตรจะได้ดังนี้

= lim_{x -> -3} (x - 7)(x + 3)x + 3

จะเห็นว่า x + 3 ของทั้งเศษและส่วน จะสามารถตัดกันได้ จะเหลือดังนี้

= lim_{x -> -3} (x - 7)

= ((-3) - 7)

= -10

การหาว่า function ต่อเนื่องหรือไม่ (Continuous Function)

การหาความต่อเนื่องจาก function คือการเช็คว่า f(x) ที่ x เป็นค่าต่างๆ ถัดๆกัน นั้นมีความต่อเนื่องกันหรือไม่ เช่น

f(x) = x - 2 ต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่ เราจะนำ x ที่อยู่ติดกับ x นั่นก็คือ x = 0 และ x = 2 มาใส่ลงใน f(x) จะได้เป็น

lim_{x -> 2⁺} = 2 - 2 = 0

lim_{x -> 1} = 1 - 2 = -1

lim_{x -> 0^-} = 0 - 2 = -2

จะเห็นว่า f(2) = 0, f(1) = -1 และ f(0) = -2 ในการแทนค่า x ในโจทย์นี้จะห่างกันเท่ากับ -1

แสดงให้เห็นว่า f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 1

ในทางกลับกัน ผมจะพามาดูตัวอย่างของโจทย์ที่ไม่ต่อเนื่องกัน

f(x) = x - 2 + 15 ต่อเมื่อ x >= 5

f(x) = x - 11 ต่อเมื่อ x < 5 

คำถาม f(x) ต่อเนื่องที่ x = 5 หรือไม่ เราก็จะใช้วิธีเดิมคือการแทนค่า x ใกล้เคียงเข้าไป ดังนี้

f(6)⁺ = 6 - 2 + 15 = 19

f(5) = 5 - 2 + 15 = 18

f(4)^- = 4 - 11 = -7

จะเห็นว่า ทั้งสามค่า มันไม่ต่อเนื่องกัน จึงตอบว่า f(x) ไม่ต่อเนื่องที่ x = 5