Calculus 1 การ Derivative

ในบทความนี้จะเป็นการแนะนำวิธีการหาอนุพันธ์ (Derivative) ในแบบเข้าใจง่ายๆ โดยจะรวบรวมถึงการหา Derivative ของสมการทั่วไป สมการติด root และตรีโกนมิติ (sin cos tan)

การ Derivative นั้นใน Graph function  (ให้นึกถึงกราฟสองมิติที่มีแกน x และ y โดยที่ y คือ f(x)) การที่เรา Derivative คือการหา ความชัน (Slope) ของจุดจุดหนึ่งว่า จุดนั้นมีความชันมากเท่าใด ซึ่งความชันก็หมายถึง ความถี่ของการเปลี่ยนแปลง (Rate of Change) คือ เราจะสามารถรู้ว่าข้อมูลดังกล่าวมีการเปลี่ยนแปลงเร็วเท่าใด

สูตรการหาอนุพันธ์  (Derivative) และการใช้งาน

f(x) = 3x⁴ + 18x + 4

สำหรับโจทย์นี้ จะต้องใช้สูตร ดังนี้

เมื่อมียกกำลัง (เมื่อ n มากกว่า 1) จะใช้สูตรคือ  f(x)' = n x ^{n - 1} หมายถึง เอาตัวยกกำลังไปคูณกับตัวเลขที่คูณกับตัวมันข้างหน้า จากนั้นลบจำนวนยกกำลังของตัวเองลงไป 1 เช่น ในโจทย์คือ 3x⁴ จะ derivative ได้เท่ากับ 12x³ มาจาก เลขยกกำลัง คือ 4 คูณกับตัวเลขข้างหน้า คือ 3 จะเท่ากับ 12 จากนั้นเลขยกกำลังของ x จะลดไปจำนวน 1 เหลือยกกำลังเท่ากับ 3

เมื่อ n เท่ากับ 1 เช่น ในสูตรนี้คือ 18x เมื่อ derivative แล้ว จะเหลือ 18

เมื่อ f(x) = c โดยที่ c เป็นค่าคงตัวเช่น ในโจทย์คือ 4 เมื่อ derivative แล้วจะเหลือ 0

ฉนั้น f(x)' ซึ่งหมายถึง อนุพันธ์อันดับแรก จึงเท่ากับ

f(x) = 3x⁴ + 18x + 4

f(x)' = 12x³ + 18

การ Derivative ผลคูณ/หาร

หาก f(x) เป็นการคูณกันของสอง terms เราจะใช้สูตร

f(x)' = (a) (div b) + (b) (div a) เช่น f(x) = (5x³ + 14x)(8x²)

จะแยกเป็น terms a และ b โดยที่ให้ a = (5x³ + 14x) และ b = (8x²) โดยที่ div หมายถึงให้ทำการ Derivative term ดังกล่าว

ก็จะได้ f(x)' = (5x³ + 14x)(16x) + (8x²)(15x² + 14)

หาก f(x) เป็นการหารกันของสอง terms เราจะใช้สูตร

f(x)' = (b) (div a) - (a) (div b)b^2

จะคล้ายสูตรเดิม แต่จะสลับกันและเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นลบ รวมถึงจะเพิ่มยกกำลัง 2 เข้าไปใน b ที่เป็นตัวส่วนด้วย

ตัวอย่างเช่น f(x) = x^3 + 15x^2x^2 + 14x

เมื่อ Derivative แล้วจะได้

f(x)' = (x^2 + 14x)(3x^2 + 30x) - (x^3 + 15x^2)(2x + 14)(x^2 + 14x)^2

การ Derivative แบบต่อเนื่อง

เช่น f(x) = (x³ - 50x)³ เมื่อเราเห็นโจทย์แบบนี้เราจะ Derivative แบบต่อเนื่อง โดยการ Derivative เลขยกกำลังข้างนอกก่อน โดยข้างในวงเล็บยังเป็นเหมือนเดิม และเพิ่มวงเล็บอีก term หนึ่ง โดยข้างในเป็น derivative ของค่าในวงเล็บ ดังนี้

f(x)' = 3(x³ - 50x)²(3x² - 50)

การ Derivatice Square Root

Square Root ก็คือ ตัวเลขที่ยกกำลัง 12 นั่นเอง ทำให้เราสามารถใช้การ Derivative แบบต่อเนื่อง มา Derivative ค่าที่ติด Square Root ได้ ตัวอย่างเช่น

f(x) = √x³ จะเท่ากับ f(x) = (x³)^1/2 ดังนั้น

f(x)' = 1/2(x³)^-1/2(3x²)

ยกกำลัง -1/2 มาจาก 1/2 ลบ 1 ซึ่งก็คือ 2/2

= 1/2 - 2/2 = -1/2

การ Derivative ตรีโกนมิติ

การ Derivative จะมีสูตร คือ

• sin x = cos x
• cos x = -sin x
• tan x = sec² x
• sec x = sec x tan x
• csc x = - csc x cot x
• cot x = - csc² x

หากโจทย์คือ f(x) = 3x³ cos x เนื่องจากสองตัวนี้มันคูณกันอยู่ จึงใช้สูตรผลคูณ (a) (div b) + (b) (div a) โดยที่กรณีนี้ a = 3x² และ b = cos x จะสามารถ Derivative ได้ ดังนี้

f(x)' = (3x²) - sin + cos x (9x²)

Derivative หาอนุพันธ์อันดับ 1, 2, และ 3

f(x) = 4x⁵ + 12x³

f(x)' = 20x⁴ + 36x² คือ อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

f(x)'' = 80x³ + 72x คือ อนุพันธ์อันดับสอง

f(x)''' = 240x² + 72 คือ อนุพันธ์อันดับสาม